Question

14．如图，设H为锐角△ABC的垂心，过点H作BH的垂线，与AB交于D，过点H作CH的垂线，与AC交于点E，点C作BC的垂线，与直线DE交于点F，证明FH=FC．

Answer 1

分析 延长HE、CF交于G点，连接AH交DE于M点，可证得AB∥EH，AC∥DH，AH∥CF．从而得出△EMH∽△EFG，△EAM∽△ECF，且四边形ADHE是平行四边形，故$\frac{MA}{CF}=\frac{EM}{EF}$，$\frac{MH}{FG}=\frac{EM}{EF}$，∴$\frac{MA}{CF}=\frac{MH}{FG}$，∴CF=FG，即FH是Rt△CHG斜边的中线，得出结论．

解答 证明：分别延长HE、CF交于G点，连接AH交DE于M点
∵H为锐角△ABC的垂心，
∴CH⊥AB，AH⊥BC，BH⊥AC．
∵EH⊥CH，DH⊥BH，FC⊥BC，
∴AB∥EH，AC∥DH，AH∥CF．
∴△EMH∽△EFG，△EAM∽△ECF，
四边形ADHE是平行四边形，
∴MA=MH，
$\frac{MA}{CF}=\frac{EM}{EF}$，$\frac{MH}{FG}=\frac{EM}{EF}$，
∴$\frac{MA}{CF}=\frac{MH}{FG}$，
∴CF=FG，即F是CG的中点，
∵GH⊥HC，
∴FH=$\frac{1}{2}$CG=FC．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，根据垂直关系找到平行线并得到相似三角形列出比例线段是解题关键．