Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，-x），$\overrightarrow{b}$=（x+2，x）（x∈R）．
（1）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，求x的值；
（2）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|．
（3）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，且x＜0，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，求△ABC的边长AC的长度．

Answer 1

分析 （1）直接由向量垂直的坐标表示列式求得x值；
（2）由向量共线的坐标表示列式求得x值，得到$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的坐标，再由向量模的计算公式得答案；
（3）由题意求出$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角，进一步得到∠ABC，然后由余弦定理求得△ABC的边长AC的长度．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，故x+2-x²=0，解得x=-1或x=2；
（2）$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（-x-1，-2x），
∵$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，∴-x（x+2）-x=0，解得x=0或x=-3．
当x=0时，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$=（-1，0），|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{{（{-1}）}^2}+{0^2}}=1$．
当x=-3时，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$=（2，6），|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{2^2}+{6^2}}=2\sqrt{10}$．
综上，|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|为1或2；
（3）由（1）知：$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（0，2），$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$=（1，1），
令$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角为θ，∴cosθ=$\frac{{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|•|{\overrightarrow{BC}}|}}$=$\frac{1×2}{2×\sqrt{2}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
又0≤θ≤π，∴θ=$\frac{π}{4}$，
∴∠ABC=π-$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$，又$|{\overrightarrow{AB}}|=2，|{\overrightarrow{BC}}|=\sqrt{2}$，
∴${|{AC}|^2}={2^2}+{（{\sqrt{2}}）^2}-2×2×\sqrt{2}×cos\frac{3π}{4}=10$，$|{AC}|=\sqrt{10}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线和垂直的坐标表示，训练了余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．