题目内容
16．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t-\frac{1}{t}}\\{y=t+\frac{1}{t}}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=1．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（2）求两曲线交点间的距离．
分析 （1）将C1的参数方程两边平分再相减消去参数t得到普通方程，将C2的极坐标方程展开，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C2的直角坐标方程；
（2）求出C2的参数方程，代入C1的普通方程，根据参数的几何意义得出交点间的距离．
解答 解：（1）∵曲线C1的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t-\frac{1}{t}}\\{y=t+\frac{1}{t}}\end{array}\right.$（t为参数），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}={t}^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}-2}\\{{y}^{2}={t}^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}+2}\end{array}\right.$，
∴曲线C1的普通方程为y2-x2=4．即$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{4}=1$．
∵曲线C2的极坐标方程是ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=1，即$\frac{1}{2}ρsinθ$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ρcosθ=1，
∴曲线C2的直角坐标方程为$\frac{1}{2}$y+$\frac{\sqrt{3}}{2}x$-1=0．即$\sqrt{3}$x+y-2=0．
（2）曲线C2的斜率k=-$\sqrt{3}$，且过点（$\sqrt{3}$，-1）．
∴直线C2的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-\frac{1}{2}t}\\{y=-1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
代入C1的普通方程得：t2=12．∴t1=2$\sqrt{3}$，t2=-2$\sqrt{3}$．
∴两曲线交点间的距离为|t1-t2|=4$\sqrt{3}$．
点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，参数的几何意义及应用，属中档题．
全能测控期末小状元系列答案| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | 2 | C． | $-\frac{1}{2}$ | D． | -2 |
