Question

2．函数f（x）=$\frac{a}{x}$+lnx，其中a为实常数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）不等式f（x）≥1在x∈（0，1]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为a≥[-xlnx+x]_max，x∈（0，1]，令g（x）=-xlnx+x，求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
①当a≤0时，∵x＞0，∴x-a＞0，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在定义域上单调递增．
②当a＞0时，若x＞a，则f′（x）＞0，f（x）在（a，+∞）上单调递增；
若0＜x＜a，则f′（x）＜0，f（x）在（0，a）上单调递减．
综上所述，当a≤0时，f（x）在定义域上单调递增；
当a＞0时，f（x）在（a，+∞）上单调递增，在（0，a）上单调递减．
（2）当x∈（0，1）时，f（x）≥1?a≥-xlnx+x，
不等式f（x）≥1在x∈（0，1]上恒成立，
?a≥[-xlnx+x]_max，x∈（0，1]，
令g（x）=-xlnx+x，g′（x）=-lnx≥0，x∈（0，1]，
∴g（x）在（0，1]上单调递增，
∴g（x）_max=g（1）=1，∴a≥1，
∴a的范围为[1，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．