题目内容
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现：“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现作为条件．
（1）函数f（x）=x3-3x2+3x的对称中心为 ．
（2）若函数g（x）=
x3-
x2+3x-
+
，则g（
）+g（
）+g（
）+…+g（
）= ．
（1）函数f（x）=x3-3x2+3x的对称中心为
（2）若函数g（x）=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 12 |
| 1 | ||
x-
|
| 1 |
| 2014 |
| 2 |
| 2014 |
| 3 |
| 2014 |
| 2013 |
| 2014 |
考点：导数的运算
专题：导数的概念及应用
分析：（1）根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得函数f（x）=x3-3x2+3x的对称中心，
（2）求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0求出x的值，
（2）求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0求出x的值，
解答：
解：（1）∵函数f（x）=x3-3x2+3x，∴f′（x）=3x2 -6x+3，∴f″（x）=6x-6．
令 f″（x）=6x-6=0，解得 x=1，且f（1）=1，故函数f（x）=x3-3x2+3x对称中心为（1，2），
（2）依题意，得：f′（x）=x2-x+3，∴f″（x）=2x-1．
由f″（x）=0，即2x-1=0．
∴x=
，
∴f（
）=1，
∴函数g（x）=
x3-
x2+3x-
对称中心为（
，1），
∴f（1-x）+f（x）=2，
∴g（
）+g（
）=g（
）+g（
）=…=2f（
）=2，
∴g（
）+g（
）+g（
）+…+g（
）=2013
故答案为：（1）（1，1）；（2）2013．
令 f″（x）=6x-6=0，解得 x=1，且f（1）=1，故函数f（x）=x3-3x2+3x对称中心为（1，2），
（2）依题意，得：f′（x）=x2-x+3，∴f″（x）=2x-1．
由f″（x）=0，即2x-1=0．
∴x=
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∴f（
| 1 |
| 2 |
∴函数g（x）=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 12 |
| 1 |
| 2 |
∴f（1-x）+f（x）=2，
∴g（
| 1 |
| 2014 |
| 2013 |
| 2014 |
| 2 |
| 2014 |
| 2012 |
| 2014 |
| 1007 |
| 2014 |
∴g（
| 1 |
| 2014 |
| 2 |
| 2014 |
| 3 |
| 2014 |
| 2013 |
| 2014 |
故答案为：（1）（1，1）；（2）2013．
点评：本题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，函数的对称性的应用，属于中档题．
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