Question

右图是一个直三棱柱（以A₁B₁C₁为底面），被一平面所截得的几何体，截面为ABC．已知A₁B₁=B₁C₁=1，∠A₁B₁C₁=90⁰，AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3
（I）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A₁B₁C₁
（II）求AB与平面AA₁CC₁所成角的大小．

Answer 1

分析：法一：（1）要证明OC∥平面A₁B₁C₁可利用线面平行的判定定理来证明则可过OD∥AA₁交A₁B₁于D，连C₁D则根据直三棱柱的性质和平行的传递性可得OD∥AA₁交A₁B₁于D，并且根据梯形的中位线定理可得OD=

1

2

(AA1+BB1)=3=CC1即可得ODC₁C是平行四边形故OC∥C₁D然后根据线面平行的判定定理即可证明．
（2）过B作截面BA₂C₂∥面A₁B₁C₁分别交AA₁，CC₁于A₂，C₂根据直三棱柱的性质可得面BA₂C₂⊥面AA₁C₁C然后根据面面垂直的性质定理和△A₁B₁C₁的特征可得过B作面AA₁C₁C的垂线这垂足落在A₂C₂的中点H上则∠BAH就是AB与面AA₁C₁C所成的角再利用条件解△AHB即可求解．
法二：可利用向量的有关知识来证明．根据题意可建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）根据空间直角坐标系可求出

OC

=(1，-

1

2

，0)且平面A₁B₁C₁的一个法向量为

n

=(0，0，1)再根据向量的数量积可得

OC

•

n

=0即可证明平面A₁B₁C₁知OC∥平面A₁B₁C₁．
（2）求出

AB

=(0，-1，-2)，和平面AA₁C₁C的一个法向量

m

=(1，1，0)根据响亮的夹角公式可求出，cos＜

m

，

AB

＞=

m • AB

| m |•| AB |

=-

10

10

＜0故AB与平面AA₁CC₁所成角θ=＜

m

，

AB

＞-

π

2

从而求出sinθ=

10

10

即θ=arcsin

10

10

解答：解：（Ⅰ）证明：作OD∥AA₁交A₁B₁于D，连C₁D．
则OD∥AA₁交A₁B₁于D，连C₁D因为O是AB的中点，
所以OD=

1

2

(AA1+BB1)=3=CC1．
则ODC₁C是平行四边形，因此有OC∥C₁D，C₁D?平面C₁B₁A₁，且OC?平面C₁B₁A₁
则OC∥面A₁B₁C₁．         …．（7分）
（Ⅱ）解：如图，过B作截面BA₂C₂∥面A₁B₁C₁，分别交AA₁，CC₁于A₂，C₂，
作BH⊥A₂C₂于H，
因为平面A₂BC₂⊥平面AA₁C₁C，则BH⊥面AA₁C₁C．
连接AH，则∠BAH就是AB与面AA₁C₁C所成的角．
因为BH=

2

2

，AB=

5

，所以sin∠BAH=

BH

AB

=

10

10

．AB与面AA₁C₁C所成的角为∠BAH=arcsin

10

10

．…．（14分）
解法二：
（Ⅰ）证明：如图，以B₁为原点建立空间直角坐标系，则A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），因为O是AB的中点，所以O(0，

1

2

，3)，

OC

=(1，-

1

2

，0)，
易知，

n

=(0，0，1)是平面A₁B₁C₁的一个法向量．
由

OC

•

n

=0且OC?平面A₁B₁C₁知OC∥平面A₁B₁C₁．
…．（7分）
（Ⅱ）设AB与面AA₁C₁C所成的角为θ．
求得

A1A

=(0，0，4)，

A1C1

=(1，-1，0)．
设

m

=(x，y，z)是平面AA₁C₁C的一个法向量，则由

A1A • m =0 A1C1 • m =0

得

z=0 x-y=0

，
取x=y=1得：

m

=(1，1，0)．
又因为

AB

=(0，-1，-2)，，
所以，cos＜

m

，

AB

＞=

m • AB

| m |•| AB |

=-

10

10

则sinθ=

10

10

．
所以AB与面AA₁C₁C所成的角为arcsin

10

10

．…．（14分）

点评：本题主要考查了线面平行的证明和线面角的求解．解题的关键是熟练掌握几何法和向量法是解决此类问题常用的方法！