题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，直线
与
相切于点
.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线
与椭圆交于不同的两点
，
，与直线
相交于
（，，，均不重合）.证明：
为定值.
【答案】（1）
；（2）详见解析.
【解析】
(1)根据题意求出a，b，c，即可得到椭圆
的方程；（2）将直线
：
与椭圆方程联立得
解得P点坐标，将直线：与直线
：
方程联立解得点
的坐标，从而得到
进而得到
,从而得证.
（1）解：由题意
得
.
于是椭圆的方程可表示为
.
联立
，得
.
因为直线：与相切，所以
，得
，
故椭圆的方程为.
（2）证明：将直线：与椭圆方程联立得解得
即点
的坐标为
.
将直线：与直线：方程联立得
解得
即点的坐标为
，
.
将直线：与椭圆方程联立得
代入化简得
，
，得
且
.
记
，
的坐标分别为
，
，
则
，
，
所以
.
同理，
，
故
，
故
，即
为定值.
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