Question

【题目】已知是椭圆（）的左顶点，左焦点是线段的中点，抛物线的准线恰好过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）如图所示，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点，若为线段的中点，过作与直线垂直的直线，证明对于任意的（），直线过定点，并求出此定点坐标．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）由抛物线的准线恰好过点，可得，再由左焦点是线段的中点，可得，结合，即可求出椭圆的方程；（2）设直线的方程为，与椭圆的方程联立，消去得关于的一元二次方程，结合韦达定理及点坐标，可表示出的坐标，则可得，从而得到直线的斜率，根据直线的方程即可得直线的方程，从而得出定点.

试题解析：（1）依题意得抛物线的准线为，所以恰好过点，

∴左顶点为， ，

∴椭圆的方程为．

（2）直线的方程为，与椭圆的方程联立，消去得

设，则

∵为线段的中点

∴，

∴的坐标为，

则（），

所以直线的斜率为，

又直线的方程为，令，得，

∴直线的方程为，即直线，

∴直线过定点，此定点为．