Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（， 为参数）.以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；

（2）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】试题分析：

(1)由题意结合点到直线距离公式可得距离的解析式为，结合三角函数的性质可得曲线上的点到直线的距离的最大值为.

(2)原问题等价于对，有恒成立，结合恒成立的条件可得实数的取值范围是.

试题解析：

（1）直线的直角坐标方程为.

曲线上的点到直线的距离

，

当时， ，

即曲线上的点到直线的距离的最大值为.

（2）∵曲线上的所有点均在直线的下方，

∴对，有恒成立，

即（其中）恒成立，

∴.

又，∴解得，

∴实数的取值范围为.