Question

设F₁，F₂分别是椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F₁倾斜角为45°的直线l与该椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|=

4

3

a．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）设点M（0，-1）满足|MP|=|MQ|，求该椭圆的方程．

Answer 1

（Ⅰ）由直线PQ斜率为1，可设直线l的方程为y=x+c，其中c=

a2-b2

．…（2分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则两点坐标满足方程组

y=x+c x2 a2  + y2 b2 =1

消去y，整理得（a²+b²）x²+2a²cx+a²（c²-b²）=0，
可得：

x1+x2= -2a2c a2+b2 x1x2= a2(c2-b2) a2+b2

∵|PQ|=

4

3

a，∴

2

|x1-x2|=

4

3

a
由此可得|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=(

2 2

3

a)2
即（

-2a2c

a 2+b2

）²-4（

a2(c2-b2)

a 2+b2

）²=

8a2

9

．…（6分）
整理，得a²=2b²，a=

2

b
∴椭圆的离心率e=

c

a

=

a2-b2 a2

=

2

2

．…（8分）
（Ⅱ）设PQ 中点为N（x₀，y₀），由（1）知
x₀=

x1+x2

2

=

-a2c

a 2+b2

=-

2c

3

，y₀=x₀+c=

1

3

c．
由|MP|=|MQ|，得MN与直线y=x+c垂直，所以MN的斜率k=-1．…（10分）
∴

y0+1

x0

=-1，即

1 3 c+1

- 2c 3

=-1，解得c=3，从而a=3

2

，b=3．
因此，椭圆的方程为

x2

18

+

y2

9

=1…（12分）