Question

已知数列{a_n}满足：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=n²（n≥1，n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂及a₂₀₁₂；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=2a_n，数列{b_n²}的前n项和为S_n，证明：S_n≤2一

1

n

．

Answer 1

分析：（1）分别令n=1和2代入所给的式子求出a₁，a₂，再令n=2011和2012列出方程后作差求出a₂₀₁₂；
（2）由

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=n2得，

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an-1

=(n-1)2（n≥2，n∈N^*），两式作差再化简求出an=

1

2n-1

，再验证n=1时是否成立；
（3）由（2）求出b_n和b_n²，验证当n=1时是否满足条件，当n≥2时需要对b_n放缩后，再利用裂项相消法化简
S_n，即得Sn≤2-

1

n

，结论得证．

解答：解：（1）由题意知

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=n2，
令n=1得，a₁=1，
令n=2得，

1

a1

+

1

a2

=22，解得a₂=

1

3

，
令n=2011得，

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2011

=20112
令n=2012得，

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2012

=20122，
两式相减得，

1

a2012

=2012²-2011²=4023，
解得a₂₀₁₂=

1

4023

，
（2）由

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=n2（n≥1，n∈N^*）得，

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an-1

=(n-1)2（n≥2，n∈N^*），
两式相减得，

1

an

=n²-（n-1）²=2n-1，
则an=

1

2n-1

（n≥2，n∈N^*），
当n=1时，a₁=1也满足上式，
故an=

1

2n-1

，
（3）由（2）得，b_n=

2an

1+an

=

2 2n-1

1+ 1 2n-1

=

1

n

，∴b_n²=

1

n2

，
当n=1时，b₁=1，则S₁=1，2-

1

n

=1，满足Sn≤2-

1

n

，
当n≥2时，b_n²=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
∴Sn=1+

1

22

+…+

1

n2

＜1+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）
=2-

1

n

，
综上得，对一切的正整数n对Sn≤2-

1

n

恒成立．

点评：本题是数列与不等式结合的综合题，考查了数列前n项和与项之间的转化问题，裂项相消法求数列的和，放缩法证明不等式等，综合性强、难度大．