Question

直棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD＝∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2.

(1)求证:AC⊥平面BB₁C₁C;

(2)在A₁B₁上是否存在一点P,使得DP与平面BCB₁与平面ACB₁都平行？证明你的结论.

Answer 1

证明:(1)直棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中,BB₁⊥平面ABCD,∴BB₁⊥AC.

又∵∠BAD＝∠ADC＝90°,AB=2AD=2CD=2,

∴AC=2,∠CAB＝45°.∴BC=2.∴BC⊥AC.

又BB₁∩BC=B,BB₁,BC平面BB₁C₁C,

∴AC⊥平面BB₁C₁C.7分(2)存在点P,P为A₁B₁的中点.

证明:由P为A₁B₁的中点,有PB₁∥AB,且PB₁＝AB.

又∵DC∥AB,DC＝AB,∴DC∥PB₁,且DC＝PB₁.

∴四边形DCPB₁为平行四边形,从而CB₁∥DP.

又CB₁面ACB₁,DP面ACB₁,∴DP∥面ACB₁.同理,DP∥面BCB₁.