Question

11．已知$α∈（{\frac{π}{2}\;，\;\;π}）$，$sinα=\frac{4}{5}$．
（1）求$sin（{\frac{π}{4}+α}）$的值；
（2）求$cos（{\frac{5π}{6}-\frac{α}{2}}）$的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数间的关系式可求得cosα的值，再利用两角和的正弦公式即可求得sin（$\frac{π}{4}$+α）的值；
（2）由同角三角函数的基本关系和二倍角公式可得sin$\frac{α}{2}$和cos$\frac{α}{2}$，代入两角差的余弦公式可得答案．

解答 解：（1）∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），sinα=$\frac{4}{5}$，
∴cosα=-$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=-$\frac{3}{5}$，
∴sin（$\frac{π}{4}$+α）=sin$\frac{π}{4}$cosα+cos$\frac{π}{4}$sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}×（-\frac{3}{5}）+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{4}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$；
（2）由（1）可知cosα=-$\frac{3}{5}$，
由二倍角是可得cosα=2$co{s}^{2}\frac{α}{2}-1$=$-\frac{3}{5}$，解得$cos\frac{α}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$．
则$sin\frac{α}{2}=\sqrt{1-co{s}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴$cos（{\frac{5π}{6}-\frac{α}{2}}）$=cos$\frac{5π}{6}$cos$\frac{α}{2}$+sin$\frac{5π}{6}$sin$\frac{α}{2}$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2\sqrt{5}-\sqrt{15}}{10}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，考查二倍角公式以及同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．