Question

如图，在斜三棱柱中，点、分别是、的中点，平面．已知，．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求异面直线与所成的角；
（Ⅲ）求与平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）见解析；（2）；（3）.

本试题主要考查了立体几何中的线面平行和异面直线所称的角，以及线面角的求解的综合运用，考查了空间想象能力‘
解法一：（Ⅰ）证明：∵点、分别是、的中点，
∴ ，又∵平面，平面，
∴平面．···························· 4分
（Ⅱ）∵平面，∴，又∵，且，
∴平面,∴．··················· 6分
又∵， ∴四边形为菱形，
∴，且∴平面,
∴，即异面直线与所成的角为．············· 8分
(Ⅲ) 设点到平面的距离为，∵，
即_△．·················· 10分
又∵在△中，,∴_△．
∴，∴与平面所成角的正弦值．·········· 12分

解法二：如图建系，，
，，   ，．……………2分
（Ⅰ）∵，，∴，，即，
又∵平面，平面，∴平面．······· 6分
（Ⅱ）∵，，∴，即∴，
∴异面直线与所成的角为．···················· 8分
(Ⅲ)设与平面所成角为，∵，
设平面的一个法向量是
不妨令，可得，····················· 10分
∴，∴与平面所成角的正弦值． 12分