Question

如图所示，圆柱底面的直径长度为，为底面圆心，正三角形的一个顶点在上底面的圆周上，为圆柱的母线，的延长线交于点， 的中点为.

（1）  求证：平面⊥平面；
（2）  求二面角的正切值.

Answer 1

（1）见解析；（2）.

本试题主要考查了面面储值的判定和二面角的求解的综合运用。
解：（1）证明： 正三角形ABP中，F为BP的中点， ∴AF⊥PB     …………1分
∵PC为圆柱的母线， ∴PC⊥平面ABC，
而AC在平面ABC内  ∴PC⊥AC ………………………………2分
∵AB为的直径，∴ACB=90°即 AC⊥BC ………………………………3分
PCBC=C，∴AC⊥平面PBC， ………………………………………………4分
而PB在平面PBC内, ∴AC⊥PB            ……………………………………5分
ACAF=A，∴PB⊥平面ACF，…………………………………………………6分
而PB在平面ABP内，∴平面ABP⊥平面ACF……………………………………7分
（2）  由（1）知AC⊥BC，PC⊥AC，同理PC⊥BC，
而PA=PB=PC=，可证RTABC≌RTPBC，
∴AC=BC=PC=2……8分
以C为原点，CA,CB,CP所在直线为X,Y,Z轴建立空间直角坐标系
则 ……………………………9分
∵PC⊥平面ABC，∴为平面CEB的一个法向量………………10分
设平面CEF的一个法向量，
则 即 ，令y=-1则      ……………………11分
设二面角F-CE-B的平面角为，
∴……………………………………………12分
∴， ……………………………………………………………………13分
所以二面角F-CE-B的正切值为 ………………………………………14分