Question

已知P是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上的一点，F₁、F₂是椭圆的左、右两焦点，若△PF₁F₂的内切圆的半径为

1

2

，则

PF1

•

PF2

=

9

4

．

Answer 1

分析：根据椭圆的定义可知|PF₁|+|PF₂|=4，根据椭圆方程求得焦距，进而利用三角形面积公式和内切圆的性质建立等式求得P点纵坐标，最后利用向量坐标的数量积公式即可求得答案．

解答：解：椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的a=2，b=

3

，c=1．
根据椭圆的定义可知|PF₁|+|PF₂|=4，|F₁F₂|=2，
不妨设P是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上的第一象限内的一点，
S_△PF1F2=

1

2

（|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|）•

1

2

=

3

2

=

1

2

|F₁F₂|•y_P=y_P．
所以y_p=

3

2

．
则

PF1

•

PF2

=（-1-x_p，-y_P）•（1-x_P，-y_P）
=x_p²-1+y_p²
=4（1-

yp2

3

）-1+y_p²
=3-

yp2

3

=

9

4

故答案为：

9

4

．

点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的定义、向量的数量积基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．