Question

【题目】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. E，M分别为线段AB，PD的中点.

（I）求证：PE⊥平面ABCD；

（II）求证：PB//平面ACM；

（III）在棱CD上是否存在点G，使平面GAM⊥平面ABCD，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）要证线面垂直，可先证线线垂直，再根据线面垂直的判定得到线面垂直；（2）构造三角形的中位线得到线线平行，进而得到线面平行；（3）在棱CD上存在点G，G为CD的中点时，平面GAM⊥平面ABCD，先猜后证，先证线面垂直，由线面推出面面垂直。解析：

（I）证明：因为为正三角形，E为AB的中点，

所以PE⊥AB，

又因为面PAB⊥面ABCD，面PAB∩面ABCD=AB， 平面PAB.

所以PE⊥平面ABCD.

（II）证明：连接BD交AC于H点，连接MH，

因为四边形ABCD是菱形，

所以点H为BD的中点.

又因为M为PD的中点，

所以MH // BP.

又因为 BP 平面ACM, 平面ACM.

所以 PB // 平面ACM.

（III）在棱CD上存在点G，G为CD的中点时，平面GAM⊥平面ABCD．

证明：连接．由（Ⅰ）得，PE⊥平面ABCD，

所以PE⊥CD，因为ABCD是菱形，∠ ABC＝60°，E为AB的中点，

所以是正三角形，EC⊥AB .

因为CD // AB，

所以EC⊥CD．

因为PE∩EC=E，

所以CD⊥平面PEC，

所以CD⊥PC．

因为M，G分别为PD，CD的中点，

所以MG//PC，

所以CD⊥MG．

因为ABCD是菱形，∠ADC＝60°，

所以是正三角形.

又因为G为CD的中点，

所以CD⊥AG，

因为MG∩AG=G，

所以CD⊥平面MAG，

因为平面ABCD，

所以平面MAG⊥平面ABCD．