Question

11．如图所示，半径为1的球内切于正三棱锥P-ABC中，则此正三棱锥体积的最小值为8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设棱锥底面边长为a，高为h，作过棱锥的高和斜高的截面，根据三角形相似得出a，h的关系，代入棱锥的体积公式，利用导数求出体积的最小值．

解答 解：设正三棱锥P-ABC的底面边长AB=a，高为PO=h．设内切球球心为M，与平面PAC的切点为N，D为AC的中点，
则MN⊥PD．DO=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}}{6}a$．MN=1，PM=h-1，∴PN=$\sqrt{P{M}^{2}-M{N}^{2}}$=$\sqrt{（h-1）^{2}-1}$=$\sqrt{{h}^{2}-2h}$．
∵Rt△PMN∽Rt△PDO，∴$\frac{MN}{DO}=\frac{PN}{PO}$，即$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{6}a}=\frac{\sqrt{{h}^{2}-2h}}{h}$，∴a=$\frac{2\sqrt{3}h}{\sqrt{{h}^{2}-2h}}$．
∴$V=\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}•h=\frac{{\sqrt{3}{h^2}}}{h-2}（h＞2）$，$V'=\frac{{\sqrt{3}（{h^2}-4h）}}{{{{（h-2）}^2}}}$，令V'=0得h=4，
故当h=4时，${V_{min}}=8\sqrt{3}$．
故答案为8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了棱锥与内切球的位置关系，找到底面边长和高的关系是解题的关键．