题目内容

已知函数f（x）满足 $数学公式$ ，其中a＞0且a≠1．
（1）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m²）＜0，求实数m的取值集合；
（2）当x∈（-∞，2）时，f（x）+3＞0恒成立，求a的取值范围．

解：（1）令log_ax=t，则x=a^t，
∴ $\text{[math]}$ …
∴ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
即y=f（x）为奇函数------…
∵ $\text{[math]}$ a＞1时 $\text{[math]}$
∴f'（x）＜0∴f（x）为定义域上减函数0＜a＜1时∴ $\text{[math]}$
∴f'（x）＜0∴f（x）为定义域上减函数
综上f（x）为定义域上减函数…
∵f（1-m）+f（1-m²）＜0∴f（1-m）＜-f（1-m²）∴奇函数∴f（1-m）＜f（m²-1）
∵减函数∴ $\text{[math]}$ …
（2）∵y=f（x）为减函数∴ $\text{[math]}$ …
若f（x）+3＞0恒成立，即f（2）+3＞0 $\text{[math]}$ …
∴ $\text{[math]}$ …
分析：（1）由已知中函数f（x）满足 $\text{[math]}$ ，我们可以利用换元法求出函数的解析式，进而判断出函数的奇偶性，和单调性，根据函数的性质我们可以将不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0化成一个关于m的不等式组，解不等式组即可得到答案．
（2）若当x∈（-∞，2）时，f（x）+3＞0恒成立，故我们可将f（x）+3＞0恒成立，转化为一个关于a的不等式恒成立问题，解答后，即可求出a的取值范围．
点评：本题考查的知识点是指数函数综合应用，函数的单调性、奇偶性的综合应用，其中熟练掌握函数的性质，将题目中的不等式转化为熟知的不等式式并进行解答是本题的关键．