Question

18．已知坐标平面内$\overrightarrow{OA}$=（2，3），$\overrightarrow{OB}$=（2，0），$\overrightarrow{OM}$=（3，6），是直线OM上一个动点．
（1）当$\overrightarrow{PA}$∥$\overrightarrow{PB}$时，求$\overrightarrow{OP}$的坐标；
（2）当$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$取得最小值时，求向量$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{PB}$夹角的余弦值．

Answer 1

分析 利用平面向量的平行的坐标表示以及数量积公式解答即可．

解答 解：设P（t，2t）．
（1）$\overrightarrow{PA}=（2-t，3-2t）$，$\overrightarrow{BM}=（1，6）$
∵$\overrightarrow{PA}$∥$\overrightarrow{BM}$，
∴（3-2t）-6（2-t）=0，
∴$t=\frac{9}{4}$，
∴$\overrightarrow{OP}=（\frac{9}{4}，\frac{9}{2}）$．
（2）$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}={（t-2）^2}+2t（2t-3）$=5t²-10t+4，
当t=1时，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$取最小值-1，
此时$cosθ=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积公式以及向量平行的性质；属于基础题．