Question

（2011•邢台一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=

a

x

（a＞0），设h（x）=f（x）+g（x）．
（1）求h（x）的单调区间；
（2）若在y=h（x）在x∈（0，3]的图象上存在一点P（x₀，y₀），使得以P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≥

1

2

成立，求实数a的最大值．

Answer 1

分析：（1）由于h′（x）=

x-a

x2

，由h′（x）＞0，可求其单调增区间，h′（x）＜0可求其单调减区间；
（2）依题意，以P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率h′（x₀）=k=

x0-a

x02

≥

1

2

成立?a≤(-

1

2

x02+x0)max（x∈（0，3]），求得(-

1

2

x02+x0)max即可．

解答：解：（1）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+

a

x

，其定义域为（0，+∞）．
h′（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

，令h′（x）=

x-a

x2

=0，则x=a
于是，当x＞a时，h′（x）＞0，h（x）为增函数；
当x＜a时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；
∴h（x）的单调增区间为（a，+∞），h（x）的单调减区间是（0，a）．
（2）∵h′（x₀）=

x0-a

x02

=k，
∴在区间（0，3]上存在一点P（x₀，y₀），使得以P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率h′（x₀）=k=

x0-a

x02

≥

1

2

成立，
即a≤-

1

2

x02+x₀，等价于a≤(-

1

2

x02+x0)max（x∈（0，3]）．
∵-

1

2

x02+x₀=-

1

2

(x0-1)2+

1

2

，
∴(-

1

2

x02+x0)max=

1

2

．
于是a≤

1

2

，即a的最大值为

1

2

．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数的几何意义研究曲线上某点切线方程，考查分析问题与等价转化解决问题的能力，属于中档题．