Question

已知四棱锥中，是正方形，E是的中点，

(1)若，求 PC与面AC所成的角
(2) 求证：平面
(3) 求证：平面PBC⊥平面PCD

Answer 1

(1) (2)先证明EO∥PC (3)先证明BC^平面PAB

试题分析：本题第（1）问，关键是找出PC与面AC所成的角，由于，则；第二问，关键是证明EO∥PC，由于EO是三角形PAC的中位线，则EO∥PC，结合直线与平面平行的判定定理，只要在说明PC平面EBD,EO平面EBD，就可以下结论PC∥平面EBD；第（3）问，先证明PD^BC和BC^CD，则BC^平面PAB，又因为BC平面PBC，所以就有平面PBC^平面PCD。
解：平面，是直线在平面上的射影，是直线和平面所成的角。又，四边形是正方形，，；直线和平面所成的角为
（2）连接AC交BD与O,连接EO, ∵E、O分别为PA、AC的中点
∴EO∥PC  ∵PC平面EBD,EO平面EBD  ∴PC∥平面EBD
（3）∵PD^平面ABCD, BC平面ABCD，∴PD^BC，
∵ABCD为正方形 ∴ BC^CD，
∵PD∩CD="D," PD，CD平面PCD
∴BC^平面PCD
又∵  BC平面PBC，∴平面PBC^平面PCD
点评：本题考查直线和平面平行和垂直关系的判定，直线和平面所成角的计算．考查考查空间想象能力、转化、计算、推理论证能力。