Question

如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，在直观图中，是的中点，侧(左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．

(1)求出该几何体的体积；
(2)若是的中点，求证：∥平面；
(3)求证：平面⊥平面.

Answer 1

(1)4 (2)主要证明∥ (3)主要证明平面

试题分析：解:(1)由题意可知，四棱锥中，
平面平面，，
所以，平面，
又，，
则四棱锥的体积为
.
(2)连接，则∥，∥，
又，所以四边形为平行四边形，∴∥，
∵平面，平面，
所以，∥平面.
(3)∵，是的中点，∴⊥，
又在直三棱柱中可知，平面平面，
∴平面，
由(2)知，∥，∴平面，
又平面，所以，平面平面.
点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，棱锥的体积，平面与平面垂直的判定，其中（1）的关键是由面面垂直的性质定理可得AB⊥平面ACDE，（2）的关键是分析出四边形ANME为平行四边形，即AN∥EM，（3）的关键是熟练掌握空间线线垂直，线面垂直与面面垂直之间的相互转化．