Question

【题目】已知递增等比数列{an}，满足a1=1，且a2a4﹣2a3a5+a4a6=36．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=log3an+ ，求数列{an2bn}的前n项和Sn；
（3）在（2）的条件下，令cn= ，{cn}的前n项和为Tn ， 若Tn＞λ恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设递增等比数列{an}的公比为q，

由等比数列的性质可得，a32﹣2a3a5+a52=36，

即有（a3﹣a5）2=62，

可得a5﹣a3=6，

即q4﹣q2=6，解得q2=3（﹣2舍去），

即有q= ，数列{an}的通项公式为an=（ ）n﹣1

（2）解：bn=log3an+ =（n﹣1）log3 + = ，

数列{an2bn}的通项为 n3n﹣1．

前n项和Sn= （1+23+332+433+…+n3n﹣1），

3Sn= （13+232+333+434+…+n3n），

两式相减可得，﹣2Sn= （1+3+32+33+…+3n﹣1﹣n3n）

= （ ﹣n3n），化简可得Sn= ﹣

（3）解：cn= = =4（ ﹣ ），

{cn}的前n项和为Tn=4（ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）

=4（ ﹣ ）=2﹣ ，

由2﹣ 为递增数列，即有n=1时，取得最小值2﹣ = ．

由Tn＞λ恒成立，可得λ＜

【解析】（1）设递增等比数列{an}的公比为q，由等比数列的通项和性质，计算即可得到q，进而得到通项公式；（2）化简bn=log3an+ =（n﹣1）log3 + = ，再由数列的求和方法：错位相减法可得前n项和Sn；（3）求得cn= = =4（ ﹣ ），运用裂项相消求和，可得Tn ， 判断单调性，求得最小值，再由不等式恒成立思想可得λ的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比数列的通项公式（及其变式）的相关知识，掌握通项公式：，以及对数列的前n项和的理解，了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．