题目内容
【题目】设函数,其中
是实数.
(l)若 ,求函数
的单调区间;
(2)当时,若
为函数
图像上一点,且直线
与
相切于点
,其中
为坐标原点,求
的值;
(3) 设定义在上的函数
在点
处的切线方程为
,若
在定义域
内恒成立,则称函数
具有某种性质
,简称“
函数”.当
时,试问函数
是否为“
函数”?若是,请求出此时切点
的横坐标;若不是,清说明理由.
【答案】(1)增区间为,减区间为
;(2)
;(3)是“
函数”,
.
【解析】试题分析:(1)求出,分别令
和
可以得到函数的增区间和减区间.(2)由题设,曲线在
处的切线过原点,故
,整理得到
,根据函数
为增函数以及
得到
.(3)函数在
处的切线方程为:
,
构造函数
其导数为分别讨论
和
时
的符号以及进一步讨论
的单调性可知
在
和
上不是“
函数”,故
,经检验符合.
解析:(1)由,得
,
(
),
, 由
得:
;由
得:
.所以
的单调增区间为
,单调减区间为
.
(2)由,得
,
.
, 所以切线的斜率
.又切线
的斜率为
,所以,
,即
,设
,
,所以,函数
在(0,+∞)上为递增函数,且
是方程的一个解,即是唯一解,所以,.
(3)当时,由函数在其图象上一点处的切线方程为
,
令
设 ,则
.
且
当 时,
,则在
上有
,故在
上
单调递增,故当
有
,所以在
有
;
当 时,
,则在
上有
,故在
上
单调递增,故当
有
,所以在
有
;
因此,在上
不是“
函数”.
当时,
,所以函数
在
上单调递减.
所以, 时,
,
;
时,
,
.因此,切点为点
,其横坐标为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目