Question

已知函数 ，．
(1）当  时，求函数  的最小值；
(2）当 时，求证：无论取何值，直线均不可能与函数相切；
(3）是否存在实数，对任意的 ，且，有恒成立，若存在求出的取值范围，若不存在，说明理由。

Answer 1

（1）-2ln2；（2）详见解析；（3）存在实数，．

试题分析：（1）把a=1代入函数解析式，求导后得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性，从而求出函数f（x）的最小值；（2）把a=-1代入原函数，求出导函数后利用基本不等式求出导函数的值域，从而说明无论c 取何值，直线均不可能与函数f（x）相切；（3）假设存在实数a使得对任意的 ，且 ，有恒成立，假设 ，则 恒成立，构造辅助函数 ，只要使函数g（x）在定义域内为增函数即可，利用其导函数恒大于等于0可求解a的取值范围．
解；（1）显然函数的定义域为，        
当．   
∴ 当，．
∴在时取得最小值，其最小值为 ．
（2）∵，
假设直线与相切，设切点为，则
所以所以无论取何值，直线均不可能与函数相切。
（3）假设存在实数使得对任意的 ，且，有,恒成立，不妨设，只要，即：
令，只要 在为增函数
又函数．
考查函数 
要使,
故存在实数恒成立．