Question

求直线l:x－y＋m=0(m∈R)和曲线y²=2x²＋2的交点.

Answer 1

解:解方程组

     

由①得y=x＋m.把y=x＋m代入②并整理，得x²－2mx－m²＋2=0.                ③

∵方程③的根的判别式Δ=(－2m)²－4(－m²＋2)=8(m²－1),

∴(1)当Δ＞0，即m＜－1或m＞1时，两曲线有两个不同的交点,即

(m＋，2m＋)和(m－，2m－).

(2)当Δ=0，即m=±1时，两曲线的交点重合于点(1，2)或点(－1，－2).

(3)当Δ＜0，即－1＜m＜1时，两曲线无交点.

点评:直线与二次曲线的交点问题，往往解由直线方程与二次曲线的方程组成的方程组并消去x或y后，得到一个形式上为二次的一元二次方程.这个方程是否为二次方程要看最高次项的系数是否为0(有时需讨论)，是二次方程时还要判断判别式Δ与0的大小及相等关系.