Question

求直线l:x-y+m=0(m∈R)和曲线y²=2x²+2的交点.

Answer 1

解:解方程组

由①得y=x+m,把y=x+m代入②并整理,得x²-2mx-m²+2=0.　③

因为方程③的根的判别式Δ=(-2m)²-4(-m²+2)=8(m²-1),

所以(1)当Δ＞0,即m＜-1或m＞1时,两曲线有两个不同的交点,即和.

(2)当Δ=0,即m=±1时,两曲线的交点重合于点(1,2)或点(-1,-2).

(3)当Δ＜0,即-1＜m＜1时,两曲线无交点.

启示:直线与二次曲线的交点问题,往往解由直线方程与二次曲线的方程组成的方程组并消去x或y后,得到一个形式上为二次的一元二次方程.这个方程是否为二次方程要看最高次项的系数是否为0(有时需讨论),是二次方程时还要判断判别式Δ与0的大小及相等关系.