Question

【题目】在平面直角坐标系中，椭圆M：(a＞b＞0)的离心率为，左右顶点分別为A，B，线段AB的长为4．P在椭圆M上且位于第一象限，过点A，B分别作l1⊥PA，l2⊥PB，直线l1，l2交于点C．

（1）若点C的横坐标为﹣1，求P点的坐标；

（2）直线l1与椭圆M的另一交点为Q，且，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）先求出椭圆的方程，设P（x0，y0），分别表示出直线AC与BC的方程，联立方程组，求出点C的坐标，即可求出点P的坐标，

（2）设Q（xQ，yQ），根据向量的坐标公式和，求出点Q坐标，再由点Q在椭圆上，即可解得，即可求出λ的取值范围.

（1）由题意得，解得a＝2，c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝3

∴椭圆M的方程是1，且A（﹣2，0），B（2，0），

设P（x0，y0），则kPA，

∵l1⊥PA，

∴直线AC的方程为y（x+2），

同理：直线BC的方程为y（x﹣2）．

联立方程，解得，又

∵y0，

∴点C的坐标为（﹣x0，y0），

∵点C的横坐标为﹣1，

∴x0＝1，

又∵P为椭圆M上第一象限内一点∴y0

∴P点的坐标为．

（2）设Q（xQ，yQ）∵λ，

∴，

解得：，

∵点Q在椭圆M上，

∴，又，

整理得：，解得：x0＝2或，

∵P为椭圆M上第一象限内一点，

∴，解得：，

故λ的取值范围为（，）．