Question

已知双曲线C：

y2

16

-

x2

4

=1，点P与双曲线C的焦点不重合，若点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P₁，则|P₁A|-|P₁B|=

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设双曲线的上下焦点分别为F，F'，连接QF，QF'．运用对称和三角形的中位线定理，结合双曲线的定义，即可得到结论．

解答： 解：设双曲线的上下焦点分别为F，F'，连接QF，QF'．
由点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，
则F为PA的中点，F'为PB的中点，
由点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P₁，
则Q为PP₁的中点，
由中位线定理可得，|P₁A|=2|QF|，
|P₁B|=2|QF'|，
由双曲线的定义可得|QF'|-|QF|=2a=8，
则|P₁A|-|P₁B|=2（|QF|-|QF'|）=-2×8=-16．
故答案为：-16．

点评：本题考查双曲线的定义，考查三角形的中位线定理的运用，考查运算能力，属于基础题．