Question

（本小题满分13分）已知函数，．
（Ⅰ）设（其中是的导函数），求的最大值；
（Ⅱ）求证: 当时，有；
（Ⅲ）设,当时,不等式恒成立，求的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）当时，取得最大值；
（Ⅱ）当时，．由（1）知：当时，，即．
因此，有．
（Ⅲ）整数的最大值是. 

试题分析：（Ⅰ）,所以 ．
当时，；当时，．
因此，在上单调递增，在上单调递减．
因此，当时，取得最大值；           ………………3分
（Ⅱ）当时，．由（1）知：当时，，即．
因此，有．………………7分
（Ⅲ）不等式化为所以
对任意恒成立．令，则，
令，则，所以函数在上单调递增．
因为，
所以方程在上存在唯一实根，且满足．
当，即，当，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以．
所以．故整数的最大值是.     ……………13分
点评：较难题，利用导数求函数单调区间的方法，解题时注意函数的定义域，避免出错。