Question

y=x²+2ax+3，x∈（-2，3]，求函数值域．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：由于y=f（x）=x²+2ax+3的对称轴方程为x=-a，分对称轴在区间的左侧、对称轴在区间中间但靠近左侧、对称轴在区间中间但靠近右侧、对称轴在区间右侧四种情况，分别利用二次函数的性质求得函数的值域．

解答： 解：由于y=f（x）=x²+2ax+3的对称轴方程为x=-a，
①当-a≤-2，即a≥2时，函数y在区间（-2，3]上是增函数，
故函数的值域为（7-4a，12+6a]．
②当-2＜-a≤

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，即-

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≤a＜2时，最小值f（-a）=3-a²，最大值为 f（3）=12+6a，
故函数的值域为[3-a²，12+6a]．
③当

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＜-a≤3，即-3≤a＜-

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时，最小值f（-a）=3-a²，最大值为 f（2）=7+4a，
故函数的值域为[3-a²，7+4a]．
④当-a＞3，即a＜-3时，函数y在区间（-2，3]上是减函数，
值域为[12+6a，7-4a]．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．