Question

函数f(x)=ax³+3x²+3x(a≠0).
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.

Answer 1

（1）a≥1时，在（-，+）是增函数；0<a<1时, f（x）在（－，x₂），（x₁，+）上是增函数；f（x）在（x₂，x₁）上是减函数；（2）

解析试题分析：（1）首先求出函数的导数，然后求出是或的解集即可.
（2）分类讨论在区间（1，2）上使成立的条件，并求出参数a的取值范围即可
试题解析：（1），的判别式△=36（1-a）.
（i）若a≥1，则，且当且仅当a=1，x=-1，故此时f（x）在R上是增函数.
（ii）由于a≠0，故当a<1时，有两个根：，
若0<a<1,则当x∈（－，x₂）或x∈（x₁，+）时，，故f（x）在（－，x₂），（x₁，+）上是增函数；
当x∈（x₂，x₁）时，，故f（x）在（x₂，x₁）上是减函数；
（2）当a>0，x>0时, ，所以当a>0时，f（x）在区间（1，2）是增函数.
若a<0时，f（x）在区间（1,2）是增函数当且仅当且，解得.
综上，a的取值范围是.
考点：1.函数的导数；2.导数性质的应用.