Question

19．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A、$\frac{B}{4}$、C成等差数列．
（1）若b=$\sqrt{13}$，a=3，求c的值；
（2）设t=sinAsinC，求t的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用A、$\frac{B}{4}$、C成等差数列，求出B，利用余弦定理，即可求c的值；
（2）设t=sinAsinC=-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$sin（2A+30°），利用30°＜2A+30°＜150°，即可求t的最大值．

解答 解：（1）∵A、$\frac{B}{4}$、C成等差数列，
∴2×$\frac{B}{4}$=A+C=180°-B，
∴B=120°，
∵b=$\sqrt{13}$，a=3，
∴13=9+c²-6ccos120°，
∴c²+3c-4=0，
∴c=1；
（2）t=sinAsinC=sinAsin（60°-A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinAcosA-$\frac{1}{2}$sin²A=-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$sin（2A+30°），
∵0°＜A＜60°，
∴30°＜2A+30°＜150°，
∴2A+30°=90°，t的最大值是$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查余弦定理，考查辅助角公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．