Question

（本小题满分12分）已知，函数
（1）当时，求函数在点(1，)的切线方程；
(2)求函数在[－1，1]的极值；
(3)若在上至少存在一个实数x₀，使>g(x_o)成立，求正实数的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ） 函数在点(1，)的切线方程为；
（Ⅱ）当即时，的极大值是，极小值是
①        当即时，在（－1,0）上递增，在（0,1）上递减，则的极大值为，无极小值。 
综上所述  时，极大值为，无极小值
时 极大值是，极小值是  
（Ⅲ）（，）   .

本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。 利用导数的几何意义求解切线方程，并结合导数的符号与单调性的关系，求解函数的极值，并分析方程根的问题的综合运用。
（1）先求解函数定义域和导数，然后得到切点处的导数值即为切线的斜率，利用点斜式得到方程。
（2）因为是关于含有参数的二次函数形式，那么对于参数a分情况讨论得到单调性和极值问题。
（3）构造新的函数设，，利用导数的思想求解其最大值即可。便可以得到a的范围。
解：（Ⅰ）∵ ∴
∴ 当时， 又 
∴ 函数在点(1，)的切线方程为 --------4分
（Ⅱ）令  有 
②        当即时

	（－1，0）	0	（0，）		（，1）
	+	0	－	0	+
		极大值		极小值

故的极大值是，极小值是
③        当即时，在（－1,0）上递增，在（0,1）上递减，则的极大值为，无极小值。 
综上所述  时，极大值为，无极小值
时 极大值是，极小值是        ----------8分
（Ⅲ）设，
对求导，得
∵，    
∴在区间上为增函数，则
依题意，只需，即 
解得 或（舍去）
则正实数的取值范围是（，）     ----------12分