Question

一火车锅炉每小时消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100km/h，火车以何速度行驶才能使甲城开往乙城的总费用最少？

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：设出甲、乙两城的距离，火车速度，每小时消耗的煤价值，由速度为每小时20千米时，每小时消耗的煤价值为40元求出正比例系数，得到总费用y=（ 

1

200

x³+200），然后利用导数求出总费用最小时的火车的速度．

解答： 解：设甲、乙两城相距为a千米，火车速度为xkm/h，每小时消耗的煤价值为p，
依题意有p=kx³（k为比例常数），由x=20，p=40，得k=

1

200

，
∴总费用y=（

1

200

x³+200）•

a

x

=a（

x2

200

+

200

x

）（x＞0），
由y'=a（

x

100

-

200

x2

），令y'=0解得，x=10

3	20

，
当0＜x＜10

3	2

时，y'＜0；
当10

3	2

＜x＜100时，y'＞0，
∴当x=10

3	2

时，y取最小值，
∴要使费用最省，火车速度应为10

3	2

km/h．

点评：本题考查了函数模型的选择与运用，考查了简单的数学建模思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题．