Question

10．若函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）在[-2，1]上的最大值为4，最小值为b，且函数g（x）=（2-7b）x是减函数，则a=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据指数函数的图象及性质求其在[-2，1]的最值关系，g（x）=（2-7b）x是减函数，2-7b＜0，即可求解a的值．

解答 解：由题意：函数g（x）=（2-7b）x是减函数；
∴2-7b＜0，
解得：$b＞\frac{2}{7}$．
根据指数函数的图象及性质：
可知：当a＞1时，函数f（x）=a^x在[-2，1]上是在增函数，
则有：a^-2=b，a=4，
解得：b=$\frac{1}{16}$，不满足题意，故a≠4．
当1＞a＞0时，函数f（x）=a^x在[-2，1]上是在减函数，
则有：a^-2=4，a=b，
解得：a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{2}$，满足题意，故a=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了指数函数的图象及性质，对底数的讨论求最值问题．属于基础题．