Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=

9

2

，S_n+S_n-1=2a_n，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：把递推式中的a_n换为S_n-S_n-1，n≥2，整理后得到数列{S_n}是等比数列，由等比数列的通项公式求得S_n，
然后再由a_n=S_n-S_n-1求得n≥2时的通项公式，验证a₁后得答案．

解答： 解：由S_n+S_n-1=2a_n（n≥2），
得S_n+S_n-1=2（S_n-S_n-1）（n≥2），
∴S_n=3S_n-1（n≥2），
即数列{S_n}是以S₁=a₁=

9

2

为首项，以3为公比的等比数列，
∴Sn=

9

2

×3n-1=

1

2

×3n+1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

2

×3n+1-

1

2

×3n=3n．
a₁=

9

2

不适合上式，
∴an=

9 2 ，n=1 3n，n≥2

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了由数列的前n项和求数列的通项公式，关键是验证首项，是中档题．