Question

11．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{3}$，左焦点F到右准线l的距离为10，圆G：（x-1）²+y²=1．
（1）求椭圆的方程；
（2）若P是椭圆上任意一点，过点P作圆G的切线，切点为Q，过点P作右准线l的垂线，垂足为H，求$\frac{PQ}{PH}$的取值范围；
（3）是否存在以椭圆上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N作圆G的切线（切点为T）都满足$\frac{NF}{NT}=\sqrt{2}$？若存在，请求出圆M的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{3}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}+c=10}\end{array}\right.$，解方程组得到a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）圆G：（x-1）²+y²=1的圆心在椭圆的右焦点上，把$\frac{PQ}{PH}$转化为含椭圆离心率与PH的式子，求出PH的范围可得答案；
（3）设圆M：（x-m）²+（y-n）²=r²（r＞0）满足条件，N（x，y），可知点（m，n）满足$\frac{{m}^{2}}{9}+\frac{{n}^{2}}{8}=1$，化圆的方程为一般式，由$\frac{NF}{NT}=\sqrt{2}$得x²+y²-6x-1=0，
代入圆的方程可得2（m-3）x+2ny-m²-n²-1+r²=0对圆M上点N（x，y）恒成立，由系数为0求得m，n，r的值，验证满足$\frac{{m}^{2}}{9}+\frac{{n}^{2}}{8}=1$后可得答案．

解答 解：（1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{3}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}+c=10}\end{array}\right.$，解得a=3，c=1，∴b²=a²-c²=8．
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$；
（2）圆G：（x-1）²+y²=1的圆心在椭圆的右焦点上，
∴$（\frac{PQ}{PH}）^{2}=\frac{P{G}^{2}-1}{P{H}^{2}}={e}^{2}-\frac{1}{P{H}^{2}}$，
∵e=$\frac{1}{3}$，PH∈[$\frac{{a}^{2}}{c}-a，\frac{{a}^{2}}{c}+a$]=[6，12]，
∴$（\frac{PQ}{PH}）^{2}∈$[$\frac{1}{12}，\frac{15}{144}$]，则$\frac{PQ}{PH}$∈[$\frac{\sqrt{3}}{6}，\frac{\sqrt{15}}{12}$]；
（3）设圆M：（x-m）²+（y-n）²=r²（r＞0）满足条件，N（x，y），
其中点（m，n）满足$\frac{{m}^{2}}{9}+\frac{{n}^{2}}{8}=1$，则x²+y²=2mx+2ny-m²-n²+r²，
$NF=\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}，NT=\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}-{1}^{2}}$，
要使$\frac{NF}{NT}=\sqrt{2}$即NF²=2NT²，即x²+y²-6x-1=0，
代入x²+y²=2mx+2ny-m²-n²+r²，
得2（m-3）x+2ny-m²-n²-1+r²=0对圆M上点N（x，y）恒成立，
只要使$\left\{\begin{array}{l}{m-3=0}\\{n=0}\\{{r}^{2}={m}^{2}+{n}^{2}+1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=0}\\{{r}^{2}=10}\end{array}\right.$，经检验m=3，n=0满足$\frac{{m}^{2}}{9}+\frac{{n}^{2}}{8}=1$，
故存在以椭圆上点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N作圆G的切线（切点为T）
都满足$\frac{NF}{NT}=\sqrt{2}$，圆M的方程为（x-3）²+y²=10．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了圆与圆锥曲线的位置关系，对于（3）的求解是该题的难点所在，与恒成立问题进行了交汇，试题设置难度较大．