Question

【题目】已知是公差不为零的等差数列, 是等比数列,且,,.

(1)求数列,的通项公式；

(2)记,求数列的前项和；

(3)若满足不等式成立的恰有个,求正整数的值.

Answer 1

【答案】(1) ，.(2) .(3) .

【解析】分析：(1) 根据,,列出关于首项、,公差与公比的方程组，解方程组可得、,公差与公比的值，从而可得数列，的通项公式；(2)由(1)可得，利用错位相减法求和即可的结果；(3) 不等式可化为，先判断的增减性，可得则时, 中最大的三项值为，由时满足的共有两个,可得，由解得，则正整数.

详解： (1)设的公差为, 的公比为，

，；，；

由，可得，，

由可得，

则，，

则，；

(2) ，

作差可得 ，

则 ；

(3) 不等式可化为，

即 ，即，

，时一定成立,

则时,满足的共有两个,此时,，

即满足的共有两个,

令，，

，

则时,

时, ，

，，，，

则时, 中最大的三项值为，

由时满足的共有两个,可得，

由解得，则正整数.