题目内容

已知向量
a
=（
3
，-1），
b
=（
1
2
，
3
2
），若存在非零实数k，t使得
x
=
a
+（t2-3）
b
，
y
=-k
a
+t
b
，且
x
⊥
y
，试求：
k+t2
t
的最小值．
分析：根据向量数量积的坐标公式和性质，分别求出|
a
|=2，|
b
|=1且
a
•
b
=0，由此将
x
•
y
=0化简整理得到k=
1
4
（t3-3t）．将此代入
k+t2
t
，可得关于t的二次函数，根据二次函数的单调性即可得到
k+t2
t
的最小值．
解答：解：∵
a
=（
3
，-1），
b
=（
1
2
，
3
2
），
∴|
a
|=
(
3
)2+(-1)2
=2，|
b
|=
(
1
2
)2+(
3
2
)2
=1，且
a
•
b
=
3
×
1
2
+（-1）×
3
2
=0
∵
x
=
a
+（t2-3）
b
，
y
=-k
a
+t
b
，且
x
⊥
y
，
∴
x
•
y
=0，即（
a
+（t2-3）
b
）（-k
a
+t
b
）=0
展开并化简，得-k
a
2+（-kt2+3k+t）
a
•
b
+t（t2-3）
b
2=0
将|
a
|=2、|
b
|=1和
a
•
b
=0代入上式，可得
-4k+t（t2-3）=0，整理得k=
1
4
（t3-3t）
∴
k+t2
t
=
1
4
(t3-3t)+t2
t
=
1
4
t2+t-
3
4
=
1
4
（t+2）2-
7
4

由此可得，当t=-2时，
k+t2
t
的最小值等于-
7
4
．
点评：本题以向量的数量积运算为载体，求
k+t2
t
的最小值．着重考查了平面向量数量积的坐标公式、运算性质，以及二次函数的图象与性质等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（-3，2），
b
=（-1，0），且向量λ
a
+
b
与
a
-2
b
垂直，则实数λ的值为
-
1
7
-
1
7
．
（2013•天河区三模）设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量
a
=(x+
3
，my)，向量
b
=(x-
3
，y)，
a
⊥
b
，动点M（x，y）的轨迹为曲线E．
（I）求曲线E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；
（II） 已知m=
3
4
，F（0，-1），直线l：y=kx+1与曲线E交于不同的两点M、N，则△FMN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的实数k的值；若不存在，请说明理由．
（2013•眉山二模）已知向量
a
=(2x-3，1)，
b
=(x，-2)，若
a
•
b
≥0，则实数x的取值范围是
（-∞，-
1
2
]∪[2，+∞）
（-∞，-
1
2
]∪[2，+∞）
．
已知向量
a
=（-3，4），
b
=（2，-1），λ为实数，若向量
a
+λ
b
与向量
b
垂直，则λ=
2
2
．
已知向量
a
=（3，1），
b
=（k，3），若
a
⊥
b
，则k=
 
．

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