Question

【题目】已知矩形中，，分别在上，且，沿将四边形折成四边形，使点在平面上的射影在直线上，且.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而当线线平行比较难找时，可以先证面面平行，再转化为线面平行：本题有两组相交直线互相平行，及，先得线面平行，平面及平面，再得面面平行，平面平面，最后得线面平行平面（2）利用空间直角坐标系求二面角余弦值，先根据题意建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得各面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系得结论

试题解析：（1）证明：∵，∴，又平面，

平面

∴平面

同理又，平面

且，∴平面平面

又平面，∴平面

（2）如图，过作，过作平面，

分别以为轴建立空间直角坐标系.

，，∴

∴，∴.

设平面的法向量为

∴，令，解得.

∴平面平面，∴平面的法向量为

设二面角的大小为，显然为钝角，

又平面的一个法向量为，