给出下列四个命题:①如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2.则复数z在复平面上所对应点的轨迹是椭圆,②当x＞0且x≠1时.有lnx+$\frac{1}{lnx}$≥2,③已知曲线C:$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{9}}-\sqrt{\frac{{y}^{2}}{16}}=1$和两定点E是C上的动点.则||PE|-|PF||≤6,④函数y=2+logax的图象� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．给出下列四个命题：
①如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2，则复数z在复平面上所对应点的轨迹是椭圆；
②当x＞0且x≠1时，有lnx+$\frac{1}{lnx}$≥2；
③已知曲线C：$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{9}}-\sqrt{\frac{{y}^{2}}{16}}=1$和两定点E（-5，0），F（5，0），若P（x，y）是C上的动点，则||PE|-|PF||≤6；
④函数y=2+log_ax的图象可以有函数y=log_ax（其中a＞0且a≠1）的图象通过伸缩变换得到．
上述命题中错误命题的序号是①②③④．

分析 ①根据复数的几何意义以及两点间的距离公式进行判断．
②根据基本不等式成立的条件进行判断．
③根据两点间的距离以及三角形的边长关系进行判断．
④根据函数图象之间的关系进行判断．

解答解：①|z+i|表示复平面上，点z与点B（0，-1）的距离，|z-i|表示复平面上，点Z与点A（0，1）的距离，
∴|z+i|+|z-i|=2，表示复平面上，点z与点A，B的距离之和等于2．则对应点的轨迹是线段，故①错，
②当x＞0且x≠1时，若x＞1则lnx+$\frac{1}{lnx}$≥2；若0＜x＜1，则lnx+$\frac{1}{lnx}$≤-2，故②错误，
设P（x，y）（x＞0，y≥0）是C上的动点曲线$C：\sqrt{\frac{x^2}{9}}-\sqrt{\frac{y^2}{16}}=1$，则$\frac{x}{3}-\frac{y}{4}=1$（x＞0，y≥0）
又由于两定点E（-5，0）、F（5，0），则P、E、F三点位置如图示．

当y=0时，P点与Q点重合，即||PE|-|PF||=||QE|-|QF||=6，
当y≠0，||PE|-|PF||＜|EF|=10，当故④错误．
④函数y=2+log_ax的图象可以有函数y=log_ax（其中a＞0且a≠1）的图象通过上下平移得到的，故④错误．
故错误命题是①②③④，
故答案为：①②③④