Question

8．如果b是a，c的等差中项，y是x，z的等比中项，且x，y，z都是正数，则（b-c）log_mx+（c-a）log_my+（a-b）log_mz=0．

Answer 1

分析 由等差数列，可设公差为d，则a=b-d，c=b+d，y是x，z的等比中项，可得xz=y²，运用对数的运算性质，计算即可得到所求值．

解答 解：b是a，c的等差中项，
可设公差为d，则a=b-d，c=b+d，
y是x，z的等比中项，可得xz=y²，
则（b-c）log_mx+（c-a）log_my+（a-b）log_mz
=-dlog_mx+2dlog_my+（-d）log_mz
=-d（log_mx+log_mz）+dlog_my²=-dlog_mxz+dlog_my²
=-dlog_m$\frac{xz}{{y}^{2}}$=-dlog_m1=0．
故答案为：0．

点评 本题考查等差数列和等比数列中项的性质，考查对数的运算性质，化简整理的运算能力，属于中档题．