Question

已知数列{a_n}满足a₁=0，a₂=1，a_n+2=3a_n+1-2a_n，则{a_n}的前n项和S_n=

2ⁿ-n-1

．

Answer 1

分析：由a₁=0，a₂=1，a_n+2=3a_n+1-2a_n，可得a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），利用等比数列的通项公式可得a_n-a_n-1，再利用“累加求和”即可得到a_n，再利用等比数列的前n项和公式即可得出S_n．

解答：解：由a₁=0，a₂=1，a_n+2=3a_n+1-2a_n，
可得a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
∴数列{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁=1为首项，2为公比的等比数列，
∴an-an-1=2n-2（n≥2）．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-2+2^n-3+…+2+1+0
=

2n-1-1

2-1

=2^n-1-1．
∴S_n=（1+2+2²+…+2^n-1）-n
=

2n-1

2-1

-n=2ⁿ-n-1．．
故答案为：2ⁿ-n-1．

点评：数列掌握等比数列的通项公式和前n项和公式、“累加求和”等是解题的关键．