Question

函数f（x）为R上的减函数，且f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求f（1）．
（2）解不等式f（2x-3）＜0．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）赋值法，令x=y=1，求得 f（1）的值，
（2）原不等式可化为f（2x-3）＜f（1），再根据函数f（x）为R上的减函数，得到2x-3＞1，解得即可．

解答： 解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2 f（1）
∴f（1）=0；
（2）由（1）得f（2x-3）＜f（1）
∵f（x）为R上的减函数
∴2x-3＞1
∴x＞2．
∴原不等式的解集为（2，+∞）．

点评：本题给出抽象函数满足的条件，求函数的单调性并解关于x的不等式，赋值法处理抽象函数和不等式的解法等知识，属于基础题．