Question

设同时满足条件：①≤b_n＋1(n∈N_＋)；②b_n≤M(n∈N_＋，M是与n无关的常数)的无穷数列{b_n}叫“特界”数列.

(1)若数列{a_n}为等差数列，S_n是其前n项和，a₃＝4，S₃＝18，求S_n；

(2)判断(1)中的数列{S_n}是否为“特界”数列，并说明理由.

Answer 1

(1)设等差数列{a_n}的公差为d，

则a₁＋2d＝4，S₃＝a₁＋a₂＋a₃＝3a₁＋3d＝18，

解得a₁＝8，d＝－2，

∴S_n＝na₁＋d＝－n²＋9n.

(2)由－S_n＋1＝＝＝＝－1<0

得<S_n＋1，故数列{S_n}适合条件①

而S_n＝－n²＋9n＝－(n－)²＋(n∈N_＋)，则当n＝4或5时，S_n有最大值20，

即S_n≤20，故数列{S_n}适合条件②.

综上，数列{S_n}是“特界”数列.