Question

【题目】以双曲线 （a＞0，b＞0）上一点M为圆心的圆与x轴恰相切于双曲线的一个焦点F，且与y轴交于P、Q两点．若△MPQ为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
A.4
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由题意可设F（c，0），
MF⊥x轴，可设M（c，n），n＞0，
设x=c，代入双曲线的方程可得y=b = ，
即有M（c， ），
可得圆的圆心为M，半径为 ，
即有M到y轴的距离为c，
可得|PQ|=2 ，
由△MPQ为等边三角形，可得
c= 2 ，
化简可得3b4=4a2c2 ，
由c2=a2+b2 ， 可得3c4﹣10c2a2+3a4=0，
由e= ，可得3e4﹣10e2+3=0，
解得e2=3（ 舍去），
即有e= ．
故选：D．