Question

【题目】如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，C为椭圆上位于第一象限内的一点．

（1）若点 的坐标为 ，求a，b的值；
（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且 ，求直线AB的斜率．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因为椭圆的离心率为 ，

所以 ，即 ．①

又因为点 在椭圆上，

所以 ． ②

由①②解得 ．

因为 ，所以 ．

（2）

法一：由①知， ，所以椭圆方程为 ，即 ．

设直线OC的方程为 ， ， ．

由 得 ，

所以 ．因为 ，所以 ．

因为 ，所以 ．可设直线 的方程为 ．

由 得 ，

所以 或 ，得 ．

因为 ，所以 ，于是 ，

即 ，所以 ．

所以直线AB的斜率为 ．

法二：由（1）可知，椭圆方程为 ，则 ．

设 ， ．

由 ，得 ，

所以 ， ．

因为点B，点C都在椭圆 上，

所以

解得 ， ，

所以直线AB的斜率 ．

【解析】（1）将点代入椭圆，结合a,b,c的关系即可求出a,b。（2）设出B，C点，由 向量关系得到点B、C间坐标关系，再将点B或C代入椭圆解出B或C点，即可求出斜率。