题目内容

已知实数m使x2-4mx+2m+30＞0对一切x∈R成立，
（1）求实数m的范围D；
（2）求f（m）=（m+3）（1+|m-1|）（m∈D）的值域．
分析：（1）由x2-4mx+2m+30＞0对一切x∈R成立，可得不等式对应的方程的△＜0，由此构造关于m的不等式，解不等式，可得实数m的范围D；
（2）利用零点分段法，结合二次函数的图象和性质，可分类讨论函数f（m）在各段上的值域，最后得到函数的值域．
解答：解：（1）若x2-4mx+2m+30＞0对一切x∈R成立，
则△=（-4m）2-4（2m+30）＜0
解得-
5
2
＜m＜3
即D=（-
5
2
，3）
（2）当m∈（-
5
2
，1]时，f（m）=（m+3）（1+|m-1|）=（m+3）（2-m）=-m2-m+6=-（m+
1
2
）2+
25
4
∈（
1
4
，
25
4
]
当m∈（1，3）时，f（m）=（m+3）（1+|m-1|）=（m+3）m=m2+3m=（m+
3
2
）2-
9
4
∈（4，18）
故f（m）=（m+3）（1+|m-1|）（m∈D）的值域为（
1
4
，18）
点评：本题考查的知识点是一元二次死得其所 解法，函数的值域，其中（1）的关键是根据二次不等式恒成立的条件，构造关于m的不等式，（2）的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质
练习册系列答案
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已知函数f（x）=
x2+c
ax+b
为奇函数，f（1）＜f（3），
且不等式0≤f（x）≤
3
2
的解集是{x|-2≤x≤-1或2≤x≤4}．
（1）求a，b，c的值；
（2）是否存在实数m使不等式f（-2+sinθ）＜-m2+
3
2
对一切θ∈R成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
已知圆C：x2+（y-2）2=25，直线L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）证明：无论m取什么实数，L与圆C恒交于两点．
（2）已知直线L与圆D：（x+1）2+（y-5）2=R2（R＞0）相切，且使R最大，求m的值．
已知函数f(x)=
x2+c
ax+b
为奇函数，f（1）＜f（3），且不等式0≤f(x)≤
3
2
的解集是[-2，-1]∪[2，4]
（1）求a，b，c．
（2）是否存在实数m使不等式f(-2+sinθ)≤m2+
3
2
对一切θ∈R成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
（2012•浦东新区二模）已知函数y=f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）=m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．
（1）已知函数f（x）=-x2+ax是[3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的取值范围；
（2）已知 T=1，y=f（x）是[0，+∞）上m级类周期函数，且y=f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2x，求实数m的取值范围；
（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分．
（Ⅰ）已知当x∈[0，4]时，函数f（x）=x2-4x，若f（x）是[0，+∞）上周期为4的m级类周期函数，且y=f（x）的值域为一个闭区间，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数k，使函数f（x）=coskx是R上的周期为T的T级类周期函数，若存在，求出实数k和T的值，若不存在，说明理由．
已知函数f（x）=
x2+c
ax+b
为奇函数，f（1）＜f（3），
且不等式0≤f（x）≤
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2
的解集是{x|-2≤x≤-1或2≤x≤4}．
（1）求a，b，c的值；
（2）是否存在实数m使不等式f（-2+sinθ）＜-m2+
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2
对一切θ∈R成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

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